Question

【题目】过轴正半轴上的动点作曲线：的切线，切点为，，线段的中点为，设曲线与轴的交点为．

（1）求的大小及的轨迹方程；

（2）当动点到直线的距离最小时，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

（1）设过点，斜率为的直线的方程为，代入得，由相切得，同时得到切点坐标为，设切线，的斜率分别为，，则可得，同时得出切点的坐标，利用计算可得．再由两点坐标得中点坐标，消去参数可得点轨迹方程；

（2）由点到直线距离公式求得到直线的距离后可得其最小值及此时点坐标，点坐标，从而得直线方程，代入已知抛物线方程应用韦达定理可求得弦长，再求出到直线的距离后可得三角形面积．

解：（1）设过点，斜率为的直线的方程为，

代入得，

当直线和抛物线相切时，有，即，此时切点坐标为．

设切线，的斜率分别为，，则，，

相应点的坐标为，，，

所以，所以．

中点的横坐标为，

纵坐标为，

所以的轨迹方程为．

（2）动点到直线的距离为，

当且仅当时取等号，此时，，

∴由（1）得中点坐标是，设，则由得，所以，

所以直线的方程为，即，代入曲线的方程得，则，．

，

点到直线的距离为，

所以的面积为．