【题目】五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是______________．
【答案】
【解析】
试题根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况数目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况，要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C52=10种情况，则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种，
其概率
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【题目】过
轴正半轴上的动点
作曲线
：
的切线，切点为
，
，线段
的中点为
，设曲线与
轴的交点为
．
（1）求
的大小及的轨迹方程；
（2）当动点到直线
的距离最小时，求
的面积．
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，
为坐标原点，过点的直线
与
交于
、
两点.
（1）若直线与圆
相切，求直线的方程；
（2）若直线与
轴的交点为
，且
，
，试探究：
是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.
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【题目】设
是数列
的前
项和，对任意
都有
成立（其中
是常数）.
（1）当
时，求：
（2）当
时，
①若
，求数列的通项公式：
②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“
数列”，如果
，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有
，且
，若存在，求数列的首项
的所有取值构成的集合；若不存在．说明理由.
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【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近
个月广告投入量
（单位：万元）和收益
（单位：万元）的数据如下表：
月份 |
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广告投入量 |
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收益 |
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他们分别用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
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（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于
的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程
（ⅱ）若广告投入量
时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
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【题目】如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面是直角梯形，
∥
，
，且
，
，
是棱
的中点 ．
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点
是线段
上的动点，
与平面所成的角为
，求
的最大值．
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【题目】已知双曲线
的左右顶点分别为
.直线
和两条渐近线交于点
,点
在第一象限且
,
是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得
为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线
与直线
分别交于点
,证明：以
为直径的圆必过定点.
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