Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中点 ．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 ； （2） ；（3）.

【解析】

（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；
（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．

（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

，

设平面的一个法向量为

则 ，令，得 ，∴ ，即

∵平面 ∴∥平面．

（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量 ，则

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为

∴

当，即时，取得最大值，且．