Question

【题目】函数

(1)讨论函数的单凋性；

(2)若存在使得对任意的不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略；(Ⅱ)．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导，讨论参数的取值确定导函数的正负，进而判定函数的单调性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的结论求出不等式左边的最小值，即将存在性问题转化为左边的最小值大于不等式右边，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．

试题解析：（I） ，记

（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增；

（ii）当时，因为，

所以，函数在上单调递增；

（iii）当时，由，解得，

所以函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增

（II）由（I）知当时，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数的最大值是，对任意的，

都存在，使得不等式成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

记，由，

，

由得或,因为，所以，

①当时，，且时，，

时，，所以，

所以时，恒成立；

②当时，，因为，所以，

此时单调递增，且，

所以时，成立；

③当时，，，

所以存在使得，因此不恒成立．

综上，的取值范围是．

另解（II）由（Ⅰ）知，当时，函数在区间上单调递增，

所以时，函数的最大值是，

对任意的，都存在，

使得不等式成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

记，

由，且

∴对任意的，不等式都成立的必要条件为

又，

由得或

因为，所以，

当时，，且时，，

时，，所以，

所以时，恒成立；

②当时，，因为，所以，

此时单调递增，且，

所以时，成立．

综上，的取值范围是