Question

设函数f （x）=sin(2x+

π

3

)+

3

3

sin2x-

3

3

cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用和差角公式对f（x）可化为：f（x）=

3

3

sin（2x+

π

6

），由周期公式可求最小正周期，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解出x可得对称轴方程；
（2）根据图象平移规律可得g（x）=-

3

3

cos2x，由x的范围可得2x范围，从而得cos2x的范围，进而得g（x）的值域；

解答：解：f（x）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

-

3

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

6

cos2x=

3

3

sin（2x+

π

6

），
（1）所以f（x）的最小正周期为T=π，
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z；
（2）由题意得，g（x）=f（x-

π

3

）=

3

3

sin（2x-

π

2

）=-

3

3

cos2x，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴2x∈[-

π

3

，

2

3

π]，
从而cos2x∈[-

1

2

，1]，
所以g（x）的值域为[-

3

3

，

3

6

]．

点评：本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键．