Question

已知函数．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）设函数，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x），确定其正负，可得结论．
解答：解：（I）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	-	+
f（x）	↓	↑	↓	↑

由上表可知函数f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增函数；在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减函数．…（6分）
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又设函数ϕ（x）=e^x-1-x，x∈R，则ϕ'（x）=e^x-1-1，
所以当x∈（-∞，1）时，ϕ'（x）＜0，此时ϕ（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，ϕ'（x）＞0，此时ϕ（x）为增函数，
因而ϕ（x）≥ϕ（1）=0恒成立（等号仅当x=1处取得）
综上，当x=0或1时，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
当x≠0，且x≠1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．…（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．