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    （本题满分12分）已知函数．

       （I）讨论的单调性；

       （II）设，证明：当时，；

       （III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．

     

    【答案】

       解：（I） 

       （i）若单调增加.

       （ii）若

    且当

    所以单调增加，在单调减少.  ………………4分

       （II）设函数则

    当.

    故当，   ………………………8分

       （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

    故，从而的最大值为

    不妨设

    由（II）得

    从而

    由（I）知，   …………………………………………12分

     

    【解析】略

     

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