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精英家教网如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)欲证CD⊥AB′,可先证CD⊥平面ABB′A′,欲证CD⊥平面ABB′A′,可根据平面ABC与平面ABB′A′垂直的性质定理可得;
(Ⅱ)过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.由三垂线定理可知CE⊥AB′,根据二面角的平面角的定义可知∠CED是二面角B-AB′-C的平面角,在三角形CED中求出此角,而根据二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补即可求出二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F,根据线面所成角的定义可知∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角,在直角三角形DB′F中求出此角的正弦值即可.
解答:解:(Ⅰ)证明:因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB.
由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB′A′.
所以CD⊥平面ABB′A′.
又因为AB′?平面ABB′A′,
所以CD⊥AB′.(5分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′.
过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.
精英家教网由三垂线定理可知CE⊥AB′,
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角.
由已知可求得CD=
2
DE=
2
3

所以tan∠CED=
CD
DE
=
6
2

所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
6
2

由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补,
所以二面角A′-AB′-C的大小为π-arctan
6
2
.(10分)
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F.
由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C.
所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角.
在直角三角形CDE中,可知CE=
30
3
,所以DF=
CD•DE
CE
=
2
5
5

在直角三角形BB′D中,可知B′D=3
2

在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=
DF
DB′
=
10
15

所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
10
15
.(14分)
点评:本题主要考查了空间两直线的位置关系,以及二面角及其度量和直线与平面的位置关系,考查空间想象能力,几何逻辑推理能力,以及计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题

 

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题

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P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA。
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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
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    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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