【题目】设是圆
上的一动点,点
在直线
上线段
的垂直平分线交直线
于点
.
(1)若点的轨迹为椭圆,则求
的取值范围;
(2)设时对应的椭圆为
,
为椭圆的右顶点,直线
与
交于
、
两点,若
,求
面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由已知可得点在
的垂直平分线上,有
,进而
,根据点
的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得
,即
在圆
外,得出
不等量关系,结合
关系,即可求解;
(2)根据(1)求出椭圆方程,设出直线,以及
,
,根据直线与椭圆相交关系结合韦达定理,求出
的值,
转坐标关系,可得出直线
过定点
,得到
,再利用韦达定理,求出
关于
的目标函数,结合
的范围,利用换元法,转化为二次函数的最值,即可求解.
解:(1)若的轨迹为椭圆,则
必在圆内,
此时的垂直平分线交线段
于点
,
,
∴,
∵在直线
上,∴
,
∴,则
.
(2)当时,
为
,此时
,
∴的轨迹为以
、
为焦点的椭圆,其中
,
,
,
∴椭圆的方程为
.
∵为右顶点,∴
为
,设
,
,
,∵
,∴
,
即,①
∵,
在直线
上,
∴①式变为,②
联立直线方程与椭圆方程,
得,
∴,
,
代入②式得,∴
或
,
当时,
、
或
、
重合,
与、
为非零向量矛盾,舍去.
∴,直线
为
,过定点
,
此时
令,则
,
∵,∴
,
即时,
有最大值,最大值为
.
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【题目】 (2017·黄冈质检)如图,在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中,点E为PC的中点,则下列命题正确的是( )
A.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
B.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
C.BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成的角大于30°
D.BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成的角小于30°
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【题目】在学校组织的英语单词背诵比赛中,5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示(分数为整数,且满分100分),若甲同学所得评分的中位数为87,乙同学所得评分的唯一众数为86,则甲同学所得评分的平均数不小于乙同学所得评分的平均数的概率为______.
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【题目】抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线,如图一平行于
轴的光线射向抛物线,经两次反射后沿平行
轴方向射出,若两平行光线间的最小距离为4,则该抛物线的方程为__________.
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【题目】某大型工厂有台大型机器,在
个月中,
台机器至多出现
次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需
名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为
.已知
名工人每月只有维修
台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得
万元的利润,否则将亏损
万元.该工厂每月需支付给每名维修工人
万元的工资.
(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;
(2)已知该厂现有名维修工人.
(ⅰ)记该厂每月获利为万元,求
的分布列与数学期望;
(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘名维修工人?
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【题目】下列有关命题的说法错误的是( )
A.若“p∨q”为假命题,则p,q均为假命题
B.“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件
C.“sinx=”的必要不充分条件是“x=
”
D.若命题p:x0∈R,x02≥0,则命题¬p:x∈R,x2<0
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【题目】下列说法正确的个数是( )
①一组数据的标准差越大,则说明这组数据越集中;
②曲线与曲线
的焦距相等;
③在频率分布直方图中,估计的中位数左边和右边的直方图的面积相等;
④已知椭圆,过点
作直线,当直线斜率为
时,M刚好是直线被椭圆截得的弦AB的中点.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知函数f(x)=a+bx-a-ab(a≠0),当
时,f(x)>0;当
时,f(x)<0.
(1)求f(x)在内的值域;
(2)若方程在
有两个不等实根,求c的取值范围.
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