Question

【题目】已知是椭圆的右焦点,过点的直线交椭圆于两点. 是的中点，直线与直线交于点.

（Ⅰ）求征：；

（Ⅱ）求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后可得中点坐标，故可用直线的斜率表示的坐标，求出的斜率后可证.注意直线斜率不存在的情形.

（Ⅱ）当直线斜率存在时，利用（Ⅰ）的可以计算 ，从而得到，当直线斜率不存在时，， 故可得最小值.

（Ⅰ）当直线斜率不存在时，直銭与轴垂直，，,

当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，

设，，，则，，

联立得

得，，

所以直线的方程为，，又，，

，；

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，直线与轴垂直，

，

当直线斜率存在时，

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

则，，

，

所以四边形面积的最小值为