Question

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0和l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是

7 5

10

；
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②点P到l₁的距离是点P到l₂的距离的

1

2

；
③点P到l₁的距离与点P到l₃的距离之比是

2

：

5

？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得a的值．
（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，由点到直线距离公式，依据条件②③建立方程组求得m和n的值，
即可得到满足条件的点的坐标．从而得出结论．

解答：解：（1）∵直线l₁：-4x+2y-2a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0，且l₁与l₂的距离是

7 5

10

，
∴

|-2a-1|

16+4

=

7 5

10

，解得 a=3．
（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，
若P点满足条件②，则点P在与l₁、l₂平行的直线l′：2x-y+C=0上，∴

|C-3|

5

= 

1

2

•

|C+ 1 2 |

5

，
解得 C=

13

2

，或 C=

11

6

，故有 2m-n+

13

2

=0，或2m-n+

11

6

=0．
若P点满足条件③，由题意及点到直线的距离公式可得，
 

|2m-n+3| 5

|m+n-1| 1+1

=

2

5

，化简可得|2m-n+3|=|m+n-1|，故有2m-n+3=m+n-1 或2m-n+3=-（m+n-1）．
即 m-2n+4=0，或3m+2=0（舍去）．
联立 2m-n+

13

2

=0 和 m-2n+4=0解得

m=-4 n=- 5 2

，应舍去．
联立2m-n+

11

6

=0和 m-2n+4=0解得

m= 1 9 n= 37 18

，
故点P的坐标为（

1

9

，

37

18

），故能找到一点P同时满足这三个条件．

点评：本题主要考查两平行线间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．