Question

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{b}{sinB}$．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，且△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求BC边上的中线AM的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，从而tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此能求出A的值．
（Ⅱ）推导出B=$\frac{π}{6}$，∠C=$\frac{2π}{3}$，设AC=BC=2a，则S_△ABC=$\sqrt{3}$a²=4$\sqrt{3}$，得a=2，由此利用余弦定理能求出AM．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，又由已知$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{b}{sinB}$，
所以$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}=\frac{a}{sinA}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因为A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由已知B=$\frac{π}{6}$，则△ABC是等腰三角形，∠C=$\frac{2π}{3}$，设AC=BC=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin∠ACB$=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$a²，
由已知△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，得a²=4，a=2，
△ACM中，由余弦定理，AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos$\frac{2π}{3}$
=4²+2²-2×2×4×（-$\frac{1}{2}$）=28，
所以AM=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．