精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数 f (x)=px+
p
x
-2lnx.(其中p>0为常数)
(1)求f (x)的单调递增区间;
(2)设g(x)=
2
x
,若在[1,2]上至少存在一点x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,求正数p的取值范围.
分析:(1)由f (x)=px+
p
x
-2lnx,知f(x)=p-
p
x 2
-
2
x
,由f(x)=p-
p
x 2
-
2
x
>0,能求出函数 f (x)=px+
p
x
-2lnx单调增区间.
(2)由g(x)=
2
x
在[1,2]内是减函数,知g(x)min=g(2) =
2
2
=1
.由f (x)=px+
p
x
-2lnx在[1,2]内是增函数,知f(x)max=f(2)=2p+
p
2
-2ln2
,由在[1,2]上至少存在一点x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,知f(x)max>g(x)min,由此能求出p的范围.
解答:解:(1)∵f (x)=px+
p
x
-2lnx,
f(x)=p-
p
x 2
-
2
x

f(x)=p-
p
x 2
-
2
x
>0,
两边同时乘以x2,得px2-2x-p>0.
∵p>0为常数,
∴解方程px2-2x-p=0,得
x=
4+4p2
2p
=
1+p2
p

∴px2-2x-p>0的解集是(-∞,
1-
1+p2
p
)∪(
1+
1+p2
p
,+∞)

∵f (x)=px+
p
x
-2lnx的定义域是{x|x>0},
∴函数 f (x)=px+
p
x
-2lnx单调增区间为 (
1+
p2+1
p
,+∞).
(2)∵g(x)=
2
x
在[1,2]内是减函数,
g(x)min=g(2) =
2
2
=1
g(x)max=
2
1
=2

∴g(x)∈[1,2].
∵f (x)=px+
p
x
-2lnx在[1,2]内是增函数,
f(x)max=f(2)=2p+
p
2
-2ln2

∵在[1,2]上至少存在一点x0,使得 f(x0)>g(x0)成立,
∴f(x)max>g(x)min
2p+
p
2
-2ln2>1

解得p>
2+4ln2
5

∴p∈(
2+4ln2
5
,+∞).
点评:本题考查利用导数求闭区间上的函数的最值的应用,考查函数单调区间的求法.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,时f(x)的表达式;
(2)若关于x的方程f(x)-a=o有解,求实数a的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的单调递增区间;(文科可参考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,记函数g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案