Question

设平面上有两个向量

a

=(2cosθ，2sinθ)，θ∈(0，2π)，

b

=(-1，

3

)．
（1）求证：向量

a

+

b

与

a

-

b

的垂直：
（2）当向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等时，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的计算公式可得|

a

|，|

b

|，再利用数量积运算与垂直的关系即可得出；
（2）再利用数量积的运算性质和正切函数的性质即可得出．

解答：（1）证明：∵|

a

|=

(2cosθ)2+(2sinθ)2

=2，|

b

|=

(-1)2+( 3 )2

=2．
∴(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=2²-2²=0，
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)．
（2）∵|

3

a

+

b

|=|

a

-

3

b

|，∴3

a

2+

b

2+2

3

a

•

b

=

a

2+3

b

2-2

3

a

•

b

，
即3×22+22+4

3

(-2cosθ+2

3

sinθ)=2²+3×2²，
∴-2cosθ+2

3

sinθ=0，化为tanθ=

3

3

．
∵θ∈（0，2π），∴θ=

π

6

或

7π

6

．

点评：熟练掌握向量模的计算公式、数量积运算与垂直的关系、数量积的运算性质和正切函数的性质等是解题的关键．