Question

两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：

数据	1	2	3	…	n
变量x	x1	x2	x3	…	xn
变量y	y1	y2	y3	…	yn

    将以上数据，以x为自变量，y为因变量，得回归方程为=bx+a；将y为自变量，x为因变量，得回归方程为=b′y+a′．

    定义两个变量的相关关系数r的计算公式为r=，它可表示两个变量线性关系的强弱．

    试问r能否用上述两方程中的b,a与b′,a′表示？如能，怎样表示？

   

Answer 1

思路解析：本题容易产生两个错解：

    错解一：因为两组变量一旦确定后，两组变量间的相关关系也随之确定了，故r不是随b,a，b′,a′的变化而变化的，于是r不能用b,a及b′,a′表示．

    错解二：因为b为回归方程的斜率，a为截距，斜率与截距的取值范围均为R，而相关系数r的取值范围为［-1,1］，它们的取值范围不一样，因而r不能用b,a及b′,a′表示．

产生这种错解的原因是：当变量确定后，r是随之而确定了，但b,a及b′, a′也?随之而定了，上述错解一中视以上四个系数在变化，因而误认为r与它们无关而发生了错误．对于错解二，虽然对b与a及r的范围的说法均是正确的，但未曾注意到两个方程之间的相关关系，即系数b,a与b′,a′并不是两组完全独立的变量，因而也造成了解答的错误．

    解：在方程=bx+a中b=,在方程=b′y+a′中b′=,

于是bb′=. ==r².

故r=,

即r能用b,b′表示，且r=．