Question

已知关于x的不等式x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0的解集是A，函数f(x)=

1

2-x x+1

的定义域是B，若A⊆B．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：易得对应方程的根为x₁=2a，x₂=a+1，由定义域的求法可得B=（-1，2），分a＞1，a＜1，和a=1三类进行讨论即可．

解答：解：原表达式可化为：（x-2a）（x-a-1）＜0，
∴对应方程的根为：x₁=2a，x₂=a+1…（2分）
（1）当a＞1时，2a＞a+1，所以A=（a+1，2a），B=（-1，2），
∵A⊆B∴

2a≤2 a+1≥-1 a＞1

⇒

a≤1 a≥-2 a＞1

⇒a∈?…（7分）
（2）当a＜1时，2a＜a+1，所以A=（2a，a+1），B=（-1，2），
∵A⊆B∴

2a≥-1 a+1≤2 a＜1

⇒

a≥- 1 2 a≤1 a＜1

⇒-

1

2

≤a＜1…（12分）
（3）当a=1时，A=?满足A⊆B
综合上述：a∈[-

1

2

，1]…（13分）

点评：本题考查一元二次表达式的求解，涉及集合的运算和分类讨论的思想，属中档题．