Question

已知函数：f(x)=x+

4

x

（1）判定f（x）的奇偶性，并证明；
（2）当x＞0时，判断f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，再利用奇函数的定义，证明函数f（x）=-f（-x），从而函数为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（0，2），当x₁＜x₂时，利用作差法证明f（x₁）-f（x₂）＞0，从而函数f（x）在（0，2）上为减函数，同理可证f（x）在（2，+∞）上为增函数

解答：解：（1）f（x）是奇函数，
因为对于任意的x（x≠0），
f(-x)=-x-

4

x

=-(x+

4

x

)=-f(x)
所以f（x）是奇函数        
（2）①当x＞0时，f（x）的单调减区间为（0，2），
对于任意的x₁，x₂∈（0，2），当x₁＜x₂时
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

．
因为0＜x₁x₂＜4，所以f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x）在（0，2）上为减函数      
②当x＞0时，f（x）的单调增区间为（2，+∞），
对于任意的x₁，x₂∈（2，+∞），当x₁＜x₂时
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)•

x1x2-4

x1x2

因为x₁x₂＞4，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在（2，+∞）上为增函数

点评：本题主要考查了证明函数奇偶性的方法，利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法步骤，代数变形能力和逻辑推理能力