Question

如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

n3

Sn

=

6

．

Answer 1

分析：设第n个数为a_n，观察图中的数据可得a₁=1，a₂-a₁=2，a₃-a₂=3…a_n-a_n-1=n，利用叠加法可求a_n，然后利用分组求和，等差数列的和公式可求S_n，，代入所求式子可求极限．

解答：解：设第n个数为a_n，
则a₁=1
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
叠加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

=

1

2

(n2+n)
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

2

(12+1+22+2+…+n2+n)
=

1

2

[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=

1

2

×

1

6

n(n+1)(2n+1)+

1

2

×

n(n+1)

2

=

n(1+n)(n+2)

6

∴

lim

n→∞

n3

Sn

=

lim

n→∞

6n2

n2+3n+2

=

lim

n→∞

6

1+ 3 n + 2 n2

=6
故答案为：6

点评：本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，分组求和的求和方法及数列极限的求解，属于综合性试题．