Question

若不等式x＞0，2x+y≤4与x+2y≥4所确定的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．-1

Answer 1

分析：先画出不等式组

x＞0 x+2y≥4 2x+y≤4

所表示的平面区域，
法一：求出平面区域的面积以及在直线y=kx+2 一侧的面积；再结合平面区域被直线y=kx+2 分为面积相等的两部分即可求出k的值．
法二：通过分析知道D是BC的中点，利用中点坐标公式和斜率公式计算即可．

解答：解：不等式组

x＞0 x+2y≥4 2x+y≤4

所表示的平面区域为三角形ABC．
由

x+2y=4 2x+y=4

⇒

x= 4 3 y= 4 3

．故点C（

4

3

，

4

3

）．
解法一：由

2x+y=4 y=kx+2

⇒

x= 2 k+2 y= 4k+4 k+2

，故点D（

2

k+2

，

4k+4

k+2

）
所以 S△ABD=

1

2

×|AB|•x_D=

1

2

x2×

2

k+2

=

2

k+2

．
S_△ABC=

1

2

×|AB|•x_C=

1

2

×2×

4

3

=

4

3

．
又因为平面区域被直线y=kx+2 分为面积相等的两部分
∴S△ABD=

1

2

S△ABC  即

2

k+2

=

1

2

×

4

3

，解得k=1．
解法二：设点A到BC的距离为d，S△ABD=

1

2

|BD|•d，S△AcD=

1

2

|CD|•d
因为平面区域被直线y=kx+2 分为面积相等的两部分，
所以|BD|=|CD|，即D是BC的中点，
所以D(

0+ 4 3

2

，

4+ 4 3

2

)，
所以k=

8 3 -2

2 3 -0

=1．
故选A．

点评：本题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域．考查学生的数形结合思想的应用，计算能力以及分析问题的能力，用到面积公式，斜率公式，中点坐标公式．