Question

下列命题：
①幂函数都具有奇偶性； 
②命题P：?x₀∈[-1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题P为真的实数a的取值范围为a＜3；
③代数式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值与角a有关；
④将函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数； 
⑤已知数列{a_n}满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），记S_n=a₁+a₂+…a_n，则S₂₀₁₁=m；
其中正确的命题的序号是

②⑤

  （请把正确命题的序号全部写出来）

Answer 1

分析：列举反例，可得命题①为假；利用函数成立问题的处理方法，可以判断②的正误；根据特殊角三角函数值，及两角和的正弦值，可以判断③的对错；利用函数平移变换及三角函数的奇偶性的判断方法，可以判断④的对错；根据数列的分组求和法，利用数列各项的变化趋势，可以得到⑤正误，进而得到答案．

解答：解：①幂函数y=x

1

2

，定义域为[0，+∞），非奇非偶，故①不正确；
②当x₀∈[-1，1]时，x₀²+x₀+1∈[

3

4

，3]
∴?x₀∈[-1，1]，满足x02+x0+1＞a，使命题P为真的实数a的取值范围为a＜3为真命题；
③∵sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)=sinα+

3

2

cosα-

1

2

sinα-

3

2

cosα-

1

2

sinα=0恒成立，
∴代数式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值与角α有关为假命题；
④将函数f(x)=3sin(2x-

π

3

)的图象向左平移

π

3

个单位长度后得到的图象所对应的函数是f（x）=3sin（2x+

π

3

），是非奇非偶函数，故④为假命题；
⑤∵数列{a_n}满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），∴a₃=n-m，a₄=-m，a₅=-n，a₆=m-n，a₇=m，a₈=n，…
∴数列{a_n}的项以6为周期，呈周期性变化，且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，∴S₂₀₁₁=a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=a₁=m
故⑤为真命题
故答案为：②⑤

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，存在量词，数列递推式，两角和与差的正弦函数，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握这些基本的知识点是解答此类问题的根本．