Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（I）依照条件可知：抛物线过原点，且焦点在y轴上，设抛物线方程为x²=2py
由条件焦点为F（0，1），得抛物线方程为x²=4y …（3分）
∴把点A代入x²=4y，得t=1 …（6分）
（II）当K_AP和K_AQ不存在时，P或Q其中一点与A重合，一点与A平行于X轴，其中一个斜率为0，一个为无穷大，不符合题意．
设直线AP的斜率为k，AQ的斜率为-k，
则直线AP的方程为y-1=k（x-2），即y=kx-（2k-1）
联立方程：
消去y，得：x²-4kx+4（2k-1）=0 …（9分）
∵x_Ax_P=4（2k-1），A（2，1）
∴x_P=4k-2
∴y_P=4k²-4k+1
同理，得x_Q=-4k-2，y_Q=4k²+4k+1…（12分）
∴是一个与k无关的定值．…（15分）
分析：（I）依照条件可知：抛物线过原点，且焦点在y轴上，设抛物线方程为x²=2py，利用焦点为F（0，1），可求得抛物线方程；
（II）当k_AP和k_AQ不存在时，P或Q其中一点与A重合，一点与A平行于X轴，其中一个斜率为0，一个为无穷大，不符合题意．
设直线AP的斜率为k，则AQ的斜率为-k，可得直线AP，AQ的方程，与抛物线方程联立求得交点坐标，进而可求斜率，从而可得结论．
点评：本题以抛物线的性质为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，应掌握定值问题的探究方法．