Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若∙，

（i）求证：直线过定点；

（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，

请说明理由．

Answer 1

（I）解：设直线，

由题意，

由方程组得

，

由题意，

所以

设，

由韦达定理得

所以

由于E为线段AB的中点，

因此

此时

所以OE所在直线方程为

又由题设知D（-3，m），

令x=-3，得，

即mk=1，

所以

当且仅当m=k=1时上式等号成立，

此时  由得

因此  当时，

取最小值2。

   （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为

将其代入椭圆C的方程，并由

解得

又，

由距离公式及得

由

因此，直线的方程为

所以，直线

（ii）由（i）得

若B，G关于x轴对称，

则

代入

即，

解得（舍去）或

所以k=1，

此时关于x轴对称。

又由（I）得所以A（0，1）。

由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），

因此

故的外接圆的半径为，

所以的外接圆方程为