Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴，且过点（2，4）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知直线y=kx-2交抛物线于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），由已知得：16=2p×2，则2p=8，由此能求出抛物线方程．
（2）由

y2=8x y=kx

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0）
由已知得：16=2p×2，则2p=8
故抛物线方程为y²=8x…（4分）
（2）由

y2=8x y=kx-2

得，k2x2-（4k+8）x+4=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=（4k+8）²-16k²＞0，即k＞-1…（8分）
由韦达定理得：x₁+x₂=

4k+8

k2

，x1x2=

4

k2

又

x1+x2

2

=2，即

4k+8

k2

=4，解得：k=2或k=-1（舍）…（10分）
则|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+4)(16-4)

=2

15

…（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．