Question

知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，离心率为,以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为，   (1)求椭圆的方程；(2) 设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）.

【解析】

试题分析：（1）由以F₁ F₂为直径的圆的面积为，确定c,由离心率确定a；（2）联立方程组，结合韦达定理，得中点坐标，再求解.

试题解析：　(1)由离心率为得:  =         ①

又由线段F₁ F₂为直径的圆的面积为得: c²=, c²=1       ②      2分

由①, ②解得a=,c=1,∴b²=1,∴椭圆方程为        4分

（2）由题意，，设l的方程为，代入椭圆方程，整理得，因为l过椭圆右焦点，所以l与椭圆交与不同两点A,B.

设，中点为，则,,

,所以AB垂直平分线方程为，

令y=0，得，由于.

考点：椭圆方程的确定，直线与椭圆的位置关系.