Question

已知抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，则a，b，m，n的大小关系为______．

Answer 1

由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）设抛物线方程y=kx（x-m），k≠0，
又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
则y=g（x）=x（x-m）=x²-mx，
∴f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，又函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0，
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n²-mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．