Question

已知3

a

-2

b

=（-2，0，4），

c

=（-2，1，2），|

b

|=4，θ为向量

b

与

c

的夹角．
（1）当

a

?

c

=2时，求θ的值； 
（2）设

a

?

c

=m，m∈R，m为何值时，θ的值最大？此时

b

的坐标为多少？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：空间向量及应用

分析：（1）根据题意，求出

b

与

c

的夹角的余弦值cosθ的值，利用反三角函数求出θ的值； 
（2）当

a

?

c

=m时，求出cosθ的表达式，根据cosθ的取值范围，求出m的值，再求对应的向量

b

即可．

解答： 解：（1）∵3

a

-2

b

=（-2，0，4），

c

=（-2，1，2），|

b

|=4，

a

?

c

=2，θ为向量

b

与

c

的夹角，
∴（3

a

-2

b

）•

c

=3

a

•

c

-2

b

•

c

=3×2-2

b

•

c

=-2×（-2）+0×1+4×2=12，
∴

b

•

c

=-3，
∴4×

(-2)2+12+22

cosθ=-3，
解得cosθ=-

1

4

；
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=π-arccos

1

4

； 
（2）当

a

?

c

=m时，由（1）知，
（3

a

-2

b

）•

c

=3

a

•

c

-2

b

•

c

=3m-2

b

•

c

=12，
∴

b

•

c

=

3

2

m-6，
∴4×3cosθ=

3

2

m-6，
∴cosθ=

1

8

m-

1

2

；
又∵θ∈[0，π]，
令

1

8

m-

1

2

=-1，得：
当m=-4时，θ=π最大，
此时设

b

=（-2x，x，2x），
∴（-2x）²+x²+（2x）²=9x²=4，
∴x=±

2

3

；
∵θ=π，
∴

b

=（

4

3

，-

2

3

，-

4

3

）．

点评：本题考查了空间向量的应用问题，也考查了利用向量的数量积求夹角的问题和计算能力，是中档题目．