Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，AMND是矩形，平面AMND⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1．
（Ⅰ）已知在AB边上存在点E，使AN∥平面MEC，请说出点E的位置并加以证明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角B-CM-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当E为AB的中点时，AN∥平面MEC．连结BN，设CM∩BN=F，连结EF，由已知得四边形BCNM为平行四边形，由此能证明AN∥平面MEC．
（Ⅱ）以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-CM-E的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当E为AB的中点时，AN∥平面MEC．
证明如下：
连结BN，设CM∩BN=F，连结EF，
∵四边形ABCD为菱形，AMND是矩形，∴MN∥AD∥BC，MN=AD=BC，
∴四边形BCNM为平行四边形，∴F为BN的中点，
又E为AB中点，∴AN∥EF，
∵EF?平面MEC，AN?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，取AD中点O，连结BO，则BO⊥AD，
∵平面AMND⊥平面ABCD，交线为AD，∴BO⊥平面AMND，
以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
在菱形ABCD与矩形AMND中，AD=2，AM=1，
∴A（1，0，0），M（1，0，1），C（-2，

3

，0），
由（Ⅰ）知E是AB中点，E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

MC

=（-3，

3

，-1），

BC

=（-2，0，0），

EC

=（-

5

2

，

3

2

，0），
设平面BCM的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • MC =-3x+ 3 y-z=0 n • BC =-2x=0

，取y=1，得

n

=（0，1，

3

），
设平面ECM的一个法向量

m

=（a，b，c），
则

m • MC =-3a+ 3 b-c=0 m • EC =- 5 2 a+ 3 2 b=0

，
取a=

3

，得

m

=（

3

，5，2

3

），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

5+6

2 3+25+12

=

11 10

40

，
设二面角B-CM-E的平面角为θ，则cosθ=

11 10

40

，
∴二面角B-CM-E的余弦值为

11 10

40

．

点评：本题考查使直线与平面平行的点的位置的确定与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．