Question

若曲线f（x）=

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x3+x2+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，则实数m的值等于（　　）

Answer 1

分析：设切点的横坐标为a，利用导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据题意可知k•（-1）=-1只有唯一的根，即转化为研究二次函数只有一根的问题，利用△=0，即可求得实数m的值．

解答：解：∵f（x）=

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x3+x2+mx，
∴f′（x）=x²+2x+m，
设切点的横坐标为a，
根据导数的几何意义，
∴切线的斜率k=f′（a）=a²+2a+m，
∵曲线f（x）=

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3

x3+x2+mx的所有切线中，只有一条与直线x+y-3=0垂直，
∴（a²+2a+m）×（-1）=-1只有唯一的根，
即a²+2a+m-1=0只有唯一的根，
∴△=4-4（m-1）=0解得m=2．
故选B．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与直线的位置关系．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．直线与直线的位置关系主要有相交、平行，本题考查了相交中的特殊情况-垂直，两条直线垂直，可以运用斜率的乘积等于-1进行求解．属于中档题．