Question

设函数f(x)=ax3+

3

2

(2a-1)x2-6x(a∈R)
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（2）当a=

1

3

时，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若函数f（x）在区间（-∞，-3）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，求得切点坐标，即可得到切线方程；
（2）当a=

1

3

时，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极大值和极小值；
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2），分类讨论，利用f（x）在（-∞，-3）上是增函数，即x＜-3时，f'（x）＞0恒成立，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=x3+

3

2

x2-6x，f′(x)=3x2+3x-6…（2分）
∴k=f′(-1)=3-3-6=-6，f(-1)=

13

2

，
∴y-

13

2

=-6(x+1)
即12x+2y-1=0为所求切线方程．…（4分）
（2）当a=

1

3

时，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-6x，f′(x)=x2-x-6
令f'（x）=0得x=-2或x=3…（6分）
令f'（x）＞0可得x＜-2或x＞3；令f'（x）＜0可得-2＜x＜3
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，3）递减，在（3，+∞）递增
∴f（x）的极大值为f(-2)=

22

3

，f（x）的极小值为f(3)=-

27

2

…（8分）
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2）
①若a=0，则f(x)=-

3

2

x2-6x，∴函数在（-∞，-2）上单调递增．
∴满足要求．…（10分）
②若a≠0，则令f'（x）=0，得x1=-2，x2=

1

a

∵f（x）在（-∞，-3）上是增函数，即x＜-3时，f'（x）＞0恒成立，
a＞0时，x＜-3，f'（x）＞0恒成立，即a＞0符合题意…（11分）
a＜0时，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[0，+∞）…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，正确求导，恰当分类是关键．