Question

设函数f(x)=

ax-1

x+1

；其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把不等式化为化为

(a-1)x-2

x+1

≤0，分a=1、a＞1、a=-1、a＜-1四种情况，分别求出解集．
（Ⅱ）任意取0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，要使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，
只有a+1＜0，由此求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由

ax-1

x+1

≤1，化为

(a-1)x-2

x+1

≤0．（1分）
当a=1时，不等式化为

-2

x+1

≤0，解集为{x|x＞-1}．（3分）
当a＞1时，有

2

a-1

＞-1，解集为{x|-1＜x≤

2

a-1

}．（5分）
当a=-1时，不等式化为

-2(x+1)

x+1

≤ 0，解集为{x|x∈R，x≠-1}．（8分）
当a＜-1时，有

2

a-1

＞-1，a-1＜0，
不等式

(a-1)x-2

x+1

≤0的解集为{x|x＜-1，或 x＞

2

a-1

}．（10分）
（Ⅱ）任取 0＜x₁＜x₂，且 则f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

（11分）
=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

．（12分）
 因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上有 x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时．才总有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（14分）

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的证明方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．