Question

设函数f(x)=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入7x-4y-12=0，解得y=

1

2

，即f（2）=

1

2

．由于曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，可得

f′(2)=a+ b 4 = 7 4 f(2)=2a- b 2 = 1 2

．解得即可；
（2）由（1）可得：f′(x)=1+

3

x2

＞0，即可得出单调性．

解答：解：（1）把x=2代入7x-4y-12=0，得7×2-4y-12=0，解得y=

1

2

，∴f（2）=

1

2

．
f′(x)=a+

b

x2

，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
∴

f′(2)=a+ b 4 = 7 4 f(2)=2a- b 2 = 1 2

．解得

a=1 b=3

．
∴f（x）=x-

3

x

．
（2）由（1）可得：f′(x)=1+

3

x2

＞0，
∴函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、切线方程等基础知识与基本方法，属于基础题．