Question

如图，两条相交成60°角的直路EF和MN交于O，起初甲在OE上距O点3km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以4km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向．
（1）求行走t小时后两人之间的距离（用t表示）；
（2）当t为何值时，甲乙两人之间的距离最近？

Answer 1

分析：（1）设t小时后，他们两人的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t，分0≤t＜

3

4

，t=

3

4

与t＞

3

4

三种情况讨论，即可求得行走t小时后两人之间的距离；
（2）由（1）知，当0≤t≤

3

4

时，通过配方得：PQ=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 4 )2+4

≥2；t＞

3

4

时，PQ=

48(t- 1 4 )2+4

在（

3

4

，+∞）上为增函数，从而可求得答案．

解答：解：（1）设t小时后，他们两人的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t…（1分）
①当0≤t＜

3

4

时，PQ²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）cos60°；
②当t=

3

4

时，PQ=OB+BQ=1+

3

4

×4；
③当t＞

3

4

时，PQ²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°；．
∴PQ=

48t2-24t+7 (0≤t≤ 3 4 ) 4                          (t= 3 4 ) 48t2-24t+7 (t＞ 3 4 )

，…（6分）
（2）由（1）知，当0≤t≤

3

4

时，
PQ=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 4 )2+4

≥2（当且仅当t=

1

4

时等号成立）…（9分）
又t＞

3

4

时，PQ=

48(t- 1 4 )2+4

在（

3

4

，+∞）上为增函数，
∴PQ＞

48( 3 4 - 1 4 )2+4

=4…（11分）
由上述推理可知，当=

1

4

=0.25小时时，（PQ）_min=2
即甲、乙两人之间的距离最小为2km…（12分）

点评：本题考查余弦定理的应用，考查分类讨论思想与函数与方程思想的综合运用，考查分析转化与运算能力，属于难题．