Question

若a＞0，a≠1，求证：

1+a2+a4+…+a2n

a+a3+a5+…+a2n-1

＞

n+1

n

（n∈N^*）

Answer 1

分析：利用数学归纳法证明即可（1）证明n=1时，不等式成立；（2）假设n=k时成立，去证明n=k+1时，不等式亦成立即可．

解答：证明：（1）当n=1时，

1+a2

a

=a+

1

a

＞2=

1+1

1

，不等式成立；
（2）假设n=k时不等式成立，即

1+a2+a4+…+a2k

a+a3+a5+…+a2k-1

＞

k+1

k

，
则当n=k+1时，

1+a2+a4+…+a2(k+1)

a+a3+a5+…+a2k+1

+

a+a3+a5+…+a2k-1

1+a2+a4+…+a2k

=

(1+a)(1+a2+a4+…+a2k)

a(1+a2+a4+…+a2k)

=

1+a2

a

＞2

1+a2+a4+…+a2(k+1)

a+a3+a5+…+a2k+1

＞2-

a+a3+a5+…+a2k-1

1+a2+a4+…+a2k

＞2-

k+1

k

=

k+1+1

k+1

故n=k+1时，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命题对n∈N^*时恒成立．

点评：本题考查数学归纳法，由n=k时成立，去证明n=k+1时成立是关键，也是难点，考查转化、推理与论证的能力，属于难题．