Question

已知命题P：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，

1

a

+

1

b

=3；命题Q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是（　　）

• A、非P∨非Q
• B、非P∧非Q
• C、非P∨Q
• D、非P∧Q

Answer 1

分析：先判断命题P和命题Q的真假，再对选项进行逐个鉴别，可得正确答案，对于命题P，可用“1的代换”结合基本不等式，求出

1

a

+

1

b

的最小值为4从而得出命题P为假命题；对于命题Q，运用一元二次方程根的判别式，得出命题Q是真命题．

解答：解：分别判断命题P和命题Q的真假
①先看命题P：
因为a，b∈（0，+∞），并且a+b=1，所以

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

) =2+

b

a

+

a

b

∵

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2
∴

1

a

+

1

b

≥2+2=4，
说明

1

a

+

1

b

的最小值为4，因此命题P为假命题；
②再看命题Q：
一元二次方程x²-x+1=0的根的差别式
△=（-1）²-4×1×1=-3＜0
故相应的二次函数图象开口向上，与x轴无公共点，
因此x²-x+1≥0在R上恒成立，命题Q是真命题
∴命题P和命题Q其中一个为真命题，另一个为假命题，可得“非P∧非Q”是假命题
故正确答案为 选B

点评：对于复合命题的真假，可分别判断这两个命题的真假，再根据复合命题的真值表来判断其真假；运用基本不等式求最值，应该注意“1的代换”的妙用，避免二次运用基本不等式而出错．