Question

（满分14分）定义在（0，＋∞）上的函数f (x)，对于任意的实数m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0．

（1）计算f(1)的值；

（2）证明f(x)在（0，＋∞）上是增函数；

（3）比较与的大小．

Answer 1

（满分14分）（1）令m＝n＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0．     

（2）任取，且，∴ ，则．      

∵对于任意的实数m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)，

∴，                                

∴，即．∴f(x)在（0，＋∞）上是减函数．

                                                                  

（3）∵，                        

∴，而，于是只需比较与mn的大小．                                                         

∵（当且仅当m＝n时取等号），又由（2）知f(x)在（0，＋∞）上是减函数，

所以（当且仅当m＝n时取等号）．