Question

(2007北京崇文模拟)如下图，直四棱柱中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且．

(1)求与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角的大小；

(3)设M是线段BD上的点，当DM为何值时，⊥平面?并证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵是直四棱柱， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∴即(或其补角)是与BC所成的角． 连接，在三角形中，，， ∴． 故与BC所成的角的余弦值为． (2)设AC∩BD=O，则BO⊥AC， 又，， ∴BO⊥平面． 过O作交于于H，连接BH，则， ∴∠OHB为二面角的平面角． 在Rt△BOH中，，， ∴， 故二面角的大小为arctan3． (3)在BD上取点M，使得OM=OD， 连接AM，CM， ∵AD=DC，∠ADC=90°， 又DO⊥AC，且AO=OC， ∴CM=AM=AD， ∴四边形ABCD是一个正方形 可证，，又， ∴平面，此时． 故当时，有平面．