Question

如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD的对角顶点A，C为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：建立如图所示的坐标系，写出A、C、D、E的坐标，利用椭圆的定义及标准方程的形式，待定系数法求椭圆的方程．

解答：解：如图所示：以点A，C所在直线为x轴，以线段AC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A（-

2

2

，0）、C（

2

2

，0），D（0，

2

2

），
故CD的中点 E（

2

4

，

2

4

），
∵E在椭圆上，由椭圆的定义，
得EA+EC=2a=

( 3 2 4 )2+ 2 16

+

(- 2 4 )2+ 2 16

=

5

2

+

1

2

=

1+ 5

2

，
∴a=

1+ 5

4

．
又 c=

2

2

，∴b²=a²-c²=

5 -1

8

，∴椭圆的方程为：

8x2

3+ 5

+

32y2

3- 5

=1．

点评：本题考查利用椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于中档题．