Question

（2008•宁波模拟）过点O引三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，则有（　　）

A．cosα=cosθ?cosβ

B．cosβ=cosθ?cosα

C．sinα=sinθ?sinβ

D．sinβ=sinθ?sinα

Answer 1

分析：根据平面AOB⊥平面BOC，我们可以构造直角三角形，不妨设A′B垂直平面BOC，C′B垂直平面AOB．则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，从而在直角三角形中，利用三角函数表示出相应的边，根据余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²，将相应的边代入化简即可．

解答：解：平面AOB⊥平面BOC，我们设A′B垂直平面BOC′，C′B垂直平面AOB′．
则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根据余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²
所以：OA′²+0C′²-[（OA′sinθ）²+（OC′sinα）²]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=

OC′cosα

cosθ

，代入（*）中．可以得到：
cosβ=cosθcosα
故选B．

点评：本题以面面垂直为载体，考查余弦定理的运用，考查勾股定理，属于中档题．