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(本小题满分14分)

在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E的左、右顶点分别为

上、下顶点分别为.设直线的倾斜角的正弦值为,圆与以线段为直径的圆

关于直线对称.

(1)求椭圆E的离心率;

(2)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;

(3)若圆的面积为,求圆的方程.

【解】(1)设椭圆E的焦距为2cc>0),

因为直线的倾斜角的正弦值为,所以

于是,即,所以椭圆E的离心率     …………4分

(2)由可设,则

于是的方程为:

的中点的距离,           …………………………6分

又以为直径的圆的半径,即有

所以直线与圆相切.                                   …………………………8分

(3)由圆的面积为知圆半径为1,从而,            …………………………10分

的中点关于直线的对称点为

                                   …………………………12分

解得.所以,圆的方程为.…………………14分

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3
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π
4
+x)cos(
π
4
+x)

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π
2
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