Question

【题目】已知数列满足：，．

（1）求最小的正实数，使得对任意的，恒有；

（2）求证：对任意的正整数，恒有．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）已知条件是数列的递推式，比较复杂，在证明时，可先计算数列的前几项，如．想象即归纳出结论数列是递减数列，从而的最小值为1，因此只要证明，可用数学归纳法证（2）

证明；（2）由（1）可得数列是单调递减的正项数列．，这样右边的证明较方便，只要重新放缩可得，

，从而，左边不等式的证明较难，左边先放缩为，从而，左右同除得：，即，利用累加法求（其中求和，可用裂项相消或错位相减法求得），可证明不等式．

试题解析：（1）由于，，，

由此我们可以猜想为单调递减数列，因此我们猜测的最小值为1，下面我们证明．

，故当时，数列为单调递减数列，从而．

，由于，且当时，有

从而对任意的，恒有，又由于，从而所求的最小正实数．

（说明：若用数学归纳法证明，也同样给满分）

事实上，由于，假设时，，则当时，

考虑到，从而，．

从而，

从而由数学归纳法原理得：对任意的，恒有．

又由于，从而所求的最小正实数．

（2）由于，则，

从而数列是单调递减的正项数列．

一方面，，从而

另一方面，，从而，

左右同除得：，即

设

（也可利用错位相减法求解，两式相减得

，从而

）

从而由，得，

当时，

从而，即，

即当时，，又当时，，从而对任意的，恒有．

综上所示，对任意的正整数，恒有．