Question

（本小题满分14分）

　　已知：函数（），．

　　（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

　　（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

　　（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得不等式和都成立，则称直线为函数与的“分界线”。设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）所求“分界线”方程为：．

【解析】解：

　　（1）因为，所以，令

　　　　 得：，此时，

　　　　 则点到直线的距离为，

　　　　 即，解之得或．　

　　　　 经检验知，为增解不合题意，故

　　（2）法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

　　　　 　　　等价于恰有三个整数解，故，

　　　　 　　　令，由且，

　　　　 　　　所以函数的一个零点在区间，

　　　　 　　　则另一个零点一定在区间，

　　　　 　　　故解之得．

　　　　 法二：恰有三个整数解，故，即，

　　　　　　　 ，

　　　　　　 　所以，又因为，

　　　　　　 　所以，解之得．

　　（3）设，则．

　　　　 所以当时，；当时，．

　　　　 因此时，取得最小值，

　　　　 则与的图象在处有公共点．　　　　　　　

　　　　 设与存在 “分界线”，方程为，

　　　　 即，

　 由在恒成立，则在恒成立 ．

　 所以成立，因此．

　　　　 下面证明恒成立．

　　　　 设，则．

　　　　 所以当时，；当时，．

　　　　 因此时取得最大值，则成立．

　　　　 故所求“分界线”方程为：．