Question

设函数fn(x)=xn+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₂（x）在区间（

1

2

，  1）内不存在零点；
②函数f₃（x）在区间（

1

2

，  1）内存在唯一零点；
③?n∈N^*，且n≥4，函数f_n（x）在区间(

1

2

，  1)内存在零点．
其中所有正确结论的序号为

②③

．

Answer 1

分析：①判断函数f₂（x）=x²+x-1在区间（

1

2

，1）上取值情况．②利用f3(x)=x3+x-1的单调性判断．③利用根的存在定理判断．

解答：解：①因为f₂（x）=x²+x-1，所以f2(1)=1＞0，f2(

1

2

)=

1

4

+

1

2

-1=-

1

4

＜0，所以f₂（x）在区间（

1

2

，1）上存在零点，所以①错误．
②由题意知f3(x)=x3+x-1．因为f3(1)=1＞0，f3(

1

2

)=

1

8

+

1

2

-1=-

3

8

＜0，所以f₃（x）在区间（

1

2

，1）上存在零点，
又因为f3(x)=x3+x-1为单调递增函数，所以函数f₃（x）在区间（

1

2

，  1）内存在唯一零点，所以②正确．
③?n∈N^*，且n≥4，fn(1)=1＞0，fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1=(

1

2

)n-

1

2

＜0，所以函数f_n（x）在区间(

1

2

，  1)内存在零点，所以③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理，判断区间短点处的函数值符合相反即可．