Question

1．过抛物线x²=4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$为定值；
（2）设△MAB的面积为S，试求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出过抛物线上A、B两点的切线方程，可得M的坐标，利用向量的数量积公式，即可证明：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$为定值；
（2）用k表示△MAB的面积S，即可求S的最小值．

解答 （1）证明：焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-4kx-4=0$，则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
抛物线方程为$y=\frac{1}{4}{x^2}$，求导得$y'=\frac{1}{2}x$．
则过抛物线上A、B两点的切线方程分别是$y=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）+{y_1}，{y_2}=\frac{1}{2}（x-{x_2}）+{y_2}$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2，y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$．
解出两条切线的交点M的坐标为$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-1）$=（2k，-1），
∴$\overrightarrow{FM}$=（2k，-2），$\overrightarrow{AB}$=（1，k），$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}=2k-2k=0$，即FM⊥AB…．（6分）
（2）解：点M到直线AB的距离$|{FM}|=2\sqrt{1+{k^2}}$，
所以${S_{△MAB}}=\frac{1}{2}|{AB}||{FM}|=4（{1+{k^2}}）\sqrt{1+{k^2}}$，
令$t=\sqrt{1+{k^2}}（{t≥1}）$，则S=4t³（t≥1），
易知当t=1，即k=0时，S的最小值为4．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．