Question

(本小题共13分)
已知数列的前项和为,且.
数列满足()，且，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
（Ⅲ）设是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当时, 
当时, .
而当时,
∴
又即，
∴是等差数列，又，，解得．
∴．                                  ---------------- 4分
（Ⅱ）
∴……
∵
∴单调递增，故．
令，得，所以.           ---------------- 9分
（Ⅲ）
（1）当为奇数时，为偶数，
∴，．
（2）当为偶数时，为奇数，
∴，（舍去）．
综上，存在唯一正整数，使得成立．   ----------1 3分

解析