Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， ， .

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证： 平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【解析】试题分析：本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，然后借助解三角形求出角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，本题作 是一步重要的转化，寻求斜线、垂线，斜足、垂足、斜线在平面内的射影，找到线面角后利用三角形边角关系求出线面角.求线面角也可转化为点到平面的距离“盲求”.

考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

试题解析：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.