Question

过x轴上一点M（x₀，0）作圆的两条切线，切点分别为A、B，若|AB|，，则x₀的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   [-2.2]
3. C.
   
4. D.
   （-∞，-2）∪[2，+∞）

Answer 1

C
分析：如图，当|AB|=时，M在y轴左侧，当M往右运动时，|AB|长变小，往左运动时，|AB|长变大，M在y轴右侧，刚好相反，故连接CA，CB，MC，由MA及MB为圆C的切线，根据切线性质得到CA与AM垂直，CB与BM垂直，由圆C的方程找出圆心坐标和圆的半径，可得到|AC|的长，利用HL证明三角形ACM与三角形BCM全等，再利用三线合一得到CN与AB垂直，N为AB中点，可求出|AN|的长，又直角三角形ACN与直角三角形ACM相似，根据对应边成比例可求出|CM|的长，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的长，可得出此时M的坐标，根据分析的规律，即可得到满足题意的x₀的取值范围．
解答：根据题意画出图形，如图所示：

若M在y轴左边，过M作圆C的两条切线MA与MB，切点分别为A和B，
连接CA，CB，CM，∴CA⊥AM，CB⊥BM，
在Rt△ACM与Rt△BCM中，
MC=MC，CA=CB，
∴Rt△ACM≌Rt△BCM（HL），
∴∠ACM=∠BCM，又CA=CB，
∴CN⊥AB，AN=BN，
当|AB|=时，由圆C的方程，得到圆心C（0，），半径|CA|=|CB|=1，
在Rt△ANC中，由|AC|=1，|AN|=|AB|=，
根据勾股定理得：|CN|=，
又Rt△ACN∽Rt△MAC，
∴|AC|²=|CN|•|CM|，∴|CM|=2，
在Rt△OCM中，|OC|=，|CM|=2，
根据勾股定理可得：|OM|=；
若M在y轴右边，同理可得|OM|=，
则x₀的取值范围是．
故选C
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，其中根据题意得出当|AB|=时，M在y轴左侧，当M往右运动时，|AB|长变小，往左运动时，|AB|长变大，M在y轴右侧，刚好相反是解本题的关键．