Question

给出下列四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”．
②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”．
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”．
④设α⊥β，a?β，则“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”．
请填出所有正确命题的序号

②④

．

Answer 1

分析：根据充要条件的定义，由异面直线的定义及空间线面关系的分类，可以判断①的真假；根据线面垂直的性质及定义，可以判断②的真假；根据线线垂直的判定方法，可以判断③的真假；根据线面垂直的判定，线面平行的判定，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答：解：“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”为真命题；“直线a、b不相交”⇒“直线a、b为异面直线”为假命题，故“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；故①错误；
“直线l⊥平面α内的所有直线”⇒“l⊥α”为真命题；“l⊥α”⇒“直线l⊥平面α内的所有直线”也为真命题，故“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”；故②正确；
“直线a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题；“a垂直于b在平面α内的射影”⇒“直线a⊥b”为假命题，故“直线a⊥b”的非充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”；故③错误；
当α⊥β，a?β，“a∥β”⇒“a⊥α”为假命题；“a⊥α”⇒“a∥β”为真命题，故当α⊥β，a?β时，“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”；故④正确；
故答案为：②④

点评：本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间直线与平面，直线与直线，平面与平面位置关系的判断，其中熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答本题的关键，另外，本题的一个易错题，第一易忽略P是Q的充分不必要条件与P的充分不必要条件是Q之间的区别，二是易忽略三垂线定理中a?α的限制，而误判断③正确．