Question

20．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[0.5]=0，则方程[x]-x=lnx的实数根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设y=[x]-x-lnx，则x＞0．当x∈（0，1）时，y=[x]-x-lnx=-x-lnx，当x=1时，y=0，当x∈（1，+∞）时，[x]-x≤0，lnx＞0，[x]-x-lnx恒小于0，由此能求出方程[x]-x=lnx的实数根的个数．

解答 解：设y=[x]-x-lnx，则x＞0．
①当x∈（0，1），y=[x]-x-lnx=-x-lnx，
∵x∈（0，1）时，${y}^{'}=-1-\frac{1}{x}$＜0，
∴y=[x]-x-lnx=-x-lnx在（0，1）上是减函数，
$\underset{lim}{x→0}（-x-lnx）$=+∞，
当x=1时，y=0，
∴方程[x]-x=lnx在（0，1]内有1 个实数根．
②当x∈（1，+∞）时，[x]-x≤0，lnx＞0，
∴[x]-x-lnx恒小于0，
∴方程[x]-x=lnx在（1，+∞）内无实数根．
综上，方程[x]-x=lnx的实数根的个数为1个．
故选：B．

点评 本题考查方程的实数根的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、导数知识的合理运用．