Question

13．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点和抛物线y²=8x的焦点重合，离心率等于$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（2，3），Q（2，-3）是椭圆上两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）抛物线y²=8x的焦点（2，0）为椭圆的一个焦点，设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．求出a、b，即可求解椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，利用由△＞0，以及韦达定理，通过弦长公式，求出三角形的面积．

解答 解：（1）抛物线y²=8x的焦点（2，0）为椭圆的一个焦点，
故设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，------2
且c=2
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，∴b²=12------4
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$------6
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$
代入$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，得x²+tx+t²-12=0------8
由△＞0，得-4＜t＜4
由韦达定理得 x₁+x₂=-t${x_1}{x_2}={t^2}-12$------9
∴$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{t^2}-4（{t^2}-12）}=\sqrt{48-3{t^2}}$，
∴${S_{APBQ}}=\frac{1}{2}×6×|{x_1}-{x_2}|=3\sqrt{48-3{t^2}}$------11，
∴当t=0时，∴${S_{APBQmax}}=12\sqrt{3}$------12

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．