Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．
（Ⅰ）求此抛物线方程；
（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据焦点到准线的距离求得p，则抛物线方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁•x₂，根据

FB

=λ

AF

，进而求得x₂=법x₁，进而根据x₁•x₂=1，消去x₂，求得x₁和x₂，代入x₁+x₂中，求得λ和k的关系式，根据y=

1

λ

+λ在[4，9]上递增，进而求得y的范围进而求得k的范围，进而求得直线在x轴上的截距的范围可得．

解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y²=4x
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消y，整理得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）则x1+x2=2+

4

k2

，x₁•x₂=1
因为

FB

=λ

AF

，所以（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），于是

x2-1=λ-λx1 y2=-λy1

由y₂=-λy₁，得y₂²=λ²y₁²?4x₂=법4x₁?x₂=법x₁，
又x₁•x₂=1，
消x₂得법x₁²=1，
因为x₁＞0，所以x1=

1

λ

，从而，x₂=λ．
代入x1+x2=2+

4

k2

得，

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
令y=

1

λ

+λ=2+

4

k2

，
因为y=

1

λ

+λ在[4，9]上递增，
所以4+

1

4

≤y=

1

λ

+λ≤9+

1

9

，即4+

1

4

≤2+

4

k2

≤9+

1

9

?

9

4

≤

4

k2

≤

64

9

?

9

16

≤k2≤

16

9

，
于是，-

4

3

≤-k≤-

3

4

，或

3

4

≤-k≤

4

3

所以直线AB在y轴上截距的取值范围为：[-

4

3

，-

3

4

]∪[

3

4

，

4

3

]．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，向量的计算等．考查了学生运用所学知识灵活解决问题的能力．